Um es kurz zu machen:
Wenn die Nachbarn belästigt *werden*, musst Du etwas tun. Wenn sie sich subjektiv belästigt *fühlen* kann das in seltenen Fällen zu Deinen Ungunsten ausgehen. Es gibt eine gewisse Menge Vogelgeräusche, die ein Nachbar ertragen muss und wenn Du mit deinen Geiern diese Grenze überschreitest, ist der Nachbar nunmal im Recht.
Es gibt zahlreiche Urteile von Gerichten, die Ziervögel - gemeint sind kleine Papageienarten wie Agas, Wellis, Zwerge, Nymphen - als hinzunehmen herausstellen. Mein Rat dennoch: Schaff Dir eine Rechtsschutzversicherung an, die auch Nachbarschafts-Zwistigkeiten abdeckt. Das geht übrigens auch, in dem Du Mitglied des örtlichen Mietervereins wirst. Das ist meist sogar etwas günstiger pro Jahr.
Soviel zum rechtlichen Teil. Dann zum Zwischenmenschlichen...
Da die Nachbarn ja nicht mit sich reden lassen, solltest Du denen einige Sachen klipp und klar und absolut unmissverständlich mitteilen:
1. Du bist im Recht.
1a. Nur weil man Eigentümer ist, hat man nicht mehr Rechte als ein Mieter.
2. Du hast die Rückendeckung deines Vermieters.
3. Du hast eine gute Rechtsschutzversicherung, die Dir bereits eine Deckungszusage erteilt hat (muss ja nicht mal der Wahrheit entsprechen)
4. Machen die sich mit der Drohung "Verfassungsgericht" einfach nur lächerlich.
5. Für eine erfolgreiche Klage bedarf es einer beglaubigten Lärmmessung, die er erstmal schön selber zahlen darf (Das kann aber für Dich zum Bumerang werden, sollte die Messung ergeben, dass deine Pieper zu laut sind)
Mein persönlicher Basteltipp: Sorge dafür, dass der Raum, in dem sich die Vögel aufhalten, möglichst viele den Schall schluckende Gegenstände beinhaltet. Je mehr (und je unregelmäßiger die Oberflächen), desto besser. Stühle, ein Tisch, ein Sofa oder ein Schrank wirkt da manchmal Wunder.